В дидактических материалах предоставлены теоретические материалы по теме «Показательные уравнения», рассмотрены методы решения уравнений, предложены задания для самостоятельного изучения и закрепления новых знаний и умений. Это  пособие   поможет подготовиться  к ЕГЭ по математике.

              Предлагаемое пособие состоит из четырех блоков. В первом блоке рассмотрен краткий теоретический материал, способствующий более эффективному развитию навыков решения уравнений и неравенств. Во втором блоке рассмотрены решения типовых примеров. В третьем блоке предложены задания для самостоятельной работы (тренажёр, тесты, индивидуальные задания). В четвертом блоке подобраны задания  ЕГЭ – 2010 из части «Открытого банка задач ЕГЭ по математике».

      Данные дидактические материалы можно использовать, как в школе, так и для индивидуального обучения, а также для тех, кто хочет углубить свои знания по теме «Показательные уравнения». Теория написана доступным языком даже для тех, кто плохо усваивает учебный материал. Практические задачи подобраны на основе принципа «от простого к сложному», когда работа начинается с разбора простейших уравнений и заканчивается решением заданий высокого уровня.

 

 

Пояснительная записка

 

             В различных теоретических и практических исследованиях часто приходится сталкиваться с необходимостью решения показательных уравнений. Поэтому изучению методов их решения должно быть уделено значительное внимание.

            Показательные уравнения, изучаемые в старшей школе, осваиваются учащимися хуже, так как на их рассмотрение отводится незначительное количество часов, а при их решении ученику необходимо владеть комплексом умений, полученных в основной школе, а также новыми знаниями, связанными с каждым из новых видов уравнений. Такого объема упражнений, который обычно предлагается в учебниках по алгебре и началам анализа для 10–11-х классов, явно недостаточно для формирования умения решать показательные  уравнения. Восполнить этот пробел помогут данные дидактические материалы.

         Цель работы направлена на обучение решению показательных уравнений стандартного вида. При подготовке к ЕГЭ- 2010  эти задачи входят в группу В.

Работа состоит из двух частей: теоретической и практической. Это позволяет быстро и легко изучить теоретический материал и отработать его на практике. Главная задача работы заключается в том, чтобы объяснение было доступно каждому ученику независимо от его успеваемости в школе.

           Данные дидактические материалы создают условия для открытия новых знаний: методов решения показательных уравнений, формирования умений и навыков правильно определять и применять эти методы при решении конкретных показательных уравнений.

Они способствуют развитию моторной и смысловой памяти, умений анализировать, сравнивать, отбирать теоретический материал, умений отбирать ключевые задачи по теме и методы их решения. Так же они способствуют становлению  информационной компетенции (работа со справочником, дополнительной литературой).

          Теоретический материал и задания  данных дидактических материалов построены в соответствии с требованиями государственного стандарта,  на основе  материалов учебника и   дополнительных сведений из области дидактики. Материалы могут использоваться при прохождении соответствующей темы по любому из ныне принятых стандартных учебников.

 

 

 

 

 

Блок 1:  Теоретический материал «Показательные уравнения»

 

1.Уравнение - это равенство, содержащее неизвестную величину, значение которой нужно найти.

2.Корень уравнения – это значение неизвестной величины, при котором равенство не теряет смысла.

3.Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

4.Функция, заданная формулой у = а^х (где а > 0, а≠ 1), называется показательной функцией с основанием а.

D (y) = R (область определения – множество всех действительных чисел).

E (y) =  R₊ (область значений – все положительные числа).

При а > 1, функция возрастает.                           При 0 < а <  1, функция убывает.

             

Определение 1. Показательным уравнением называется уравнение, содержащее переменную в показателе степени.

Например: .

Определение 2. Простейшим показательным уравнением называется уравнение вида:

.

При решении показательных уравнений необходимо помнить, что решение любого показательного уравнения сводится к решению “простейших” показательных уравнений, то есть уравнений вида: 1) af(x)  = ag(x)   или  2)  af(x)  = b. Очевидно, что уравнение типа 2 сводится к уравнению типа 1 с помощью основного логарифмического тождества: 3 af(x)= . Уравнение (1) равносильно уравнению f(x) = g(x) при а > 0, а ¹ 1. Этот переход называется потенцированием.

Блок 2: «Виды показательных уравнений и способы  их решения»

2.1.  Уравнения, решаемые приведением к одному основанию левой и правой частей, применяя свойства степеней Определения и свойства степени Примеры Определения: 1)  a 1 = а     (а  R)  2)  а n = а ∙ а ∙... a    (а  R, n N, n  0)  3) а 0=1     (а0, аR) 4)  а -n =   (а0, а с R, n  N) 5)  =     (n  N, m  Q, а >0)              (-1,7в)1 = -1,7в (-1,7в)3 = (-1,7в) (-1,7в) (-1,7в)  = -4,913 (—1,7 в)0=1, если в 0   (—0,25) -3 =   = (-4)3 = 64 = =  == 8   Свойства: Примеры   ах · ау = ах+у     (ах)у = аху     ах : ау = ах-у     ах · bх = (аb)х   =      m1,5 ∙ m-2 = m1,5+(-2)= m-0,5 l,53х.1,5 -0,5х= 1,52,5х =(0,25)-2 = 42 = 16 (5х)2 = 52х = (52)х = 25х   m1,5 : m-2 = m1,5-(-2)= m3,5 l,53х : 1,5 -0,5х= 1,53,5х   32х · 52х = (3∙5)2х =152х   =34=81 Решить уравнение: а) . Проверка: ; ;  =; Ответ: х =; б) . Решение: ; ; ; ; ; ; (х+5)(х–3)=(х+25)(х–7); х2+5х–3х–15=х2+25х–7х–175; 16х=160; х=10. Проверка: х=10. ; ; ; ; =– верно. Ответ: х=10; в) . Решение: ; ; ; ; ; x=1. Проверка: ; ; =– верно. Ответ: х=1; г) . Решение: ; ½3х–4½=4х–4,  для х ³имеем ½3х–4½=3х–4 и тогда уравнение запишем в виде: 3х–4=4х–4; –х=0; х=0; для х <имеем ½3х–4½=4–3х и уравнение запишем в виде  4–3х=4х–4; –7х=–8; х=. Проверка: х=0. ; ;  – не верно. х=. ; ;  – верно.     Ответ: х=.   2.2. Уравнения вида P(ax)=0, где P(y) – многочлен 2 или 3 степени, или уравнения, сводящиеся к ним Такие уравнения решаются методом подстановки: ax=y, решаем уравнение P(y)=0, находим его корни yi и потом решаем простейшее уравнение ax= yi. Решить уравнение:  а) . Решение: . Обозначаем:  = y; 3y2–10y+3=0; D=25–9=16; y1=3; y2=. Получаем: 1. =3; ; ; х1=2.  2. =; ; ; х2=–2. Проверка: 1. ; 3×9–10×3+3=0 – верно. 2. ; ;  – верно. Ответ: х=2; х=–2; б) . Решение: . Пусть 4х=y, y2+12y–64=0, y1,2=–6±=–6±10, y1=4; y2=–16 (п.к.), т.к. 4х > 0, 4х=4 Þ х=1. Проверка: ; 16+3×16–64=0; 16+48–64=0 – верно. Ответ: х=1; в) . Решение: , . Пусть , ,, , ; ; ; ; ; ; x=20. Проверка: x=20. ,  – верно. Ответ: х=20. г) . Решение: . Пусть ; тогда уравнение запишем в виде ; y1,2=2; y1=3 и y2=1;  или ; x2–1=1; x2–1=0; x=; x= ±1. Проверка: x=; ; 9–12+3=0 – верно; х= ±1; ; 1–4+3=0 – верно. Ответ: x=; х=±1.   2.3. Уравнения, решаемые методом вынесения общего множителя за скобки: а) . Решение: ; ; ; ; ; ; х=0. Проверка: ; ; 0,992=0,992 – верно. Ответ: х=0; б) . Решение: ; ; ; ; х=0. Проверка: ; 49–1+2–2=48; 48=48 – верно. Ответ: х=0; в) . Решение: ; ;  ; ; ; ; х=2. Проверка: ; ; 2–8+3=–3; –3=–3 – верно. Ответ: х=2. 2.4. Уравнения вида  решаются путем деления членов на  или . Решить уравнение: а) . Решение: Делим на . ; . Положим , тогда имеем ; . Решаем это уравнение и получаем y1=1, y2=. следовательно: ; . Проверка: х=0; ; 3+2=5 – верно; х=; ; 12+18=30 – верно. Ответ: х=0; х=. б) . Решение: ; . Разделим обе части данного уравнения на . ; . Пусть , тогда уравнение примет вид: ; , ; ; ; ; . Проверка: ; . Делим на . ; ; ; 6=6 – верно; ; . Делим на ; ; ; 6=6 – верно. Ответ: ; .

 

 

 

 

 

2.5. Примеры выполнения заданий, содержащих показательные уравнения

Пример 1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) (0; 1);          2)(1;2);            3) (2; 3);          4) (3; 4).

Решение. Используя свойство степени (а^х)^у = а^ху, получаем:

Так как = 5^-1, то 5^2(З-х) = 5^-1 Степени с одинаковым основанием равны, значит, равны их показатели:        2(3 - х) = -1; 6 - 2х = -1, - 2х = -7,  х =  3,5

            Поскольку 3,5  (3; 4), верным является ответ №4.

Ответ: 4.

 

Пример 2. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

 2 ^х-1 + 2 ^х+1 = 20.

            1) (4; 5);          2) [3; 4];          3) (2; 3);          4) [1; 2].

Решение. 2 ^х-1 + 2 ^х+1 = 20;   + 2·2^х  = 20; 2^х + 4∙2^х = 40;   5  ·2^х  = 40;   2^х = 8;  х = 3;

х [3;4].

 

Ответ: 2.

 

Пример 3. Найдите произведение корней уравнения  = 243.

 

Решение.  = 243;       = 3⁵;      х ² - 1 = 5;

 

Первый способ	Второй способ
х2=6;       х1,2=        х1·х2 =  = -6	х2 – 6 = 0 х1·х2 =  -6 (по теореме Виета)

 

Ответ: 1

1. Подведение итогов урока.

Полученный результат выполненной работы и является итогом урока. Он показывает насколько хорошо ученики разобрались с материалом.

2. Задание на дом.
3. Рефлексия. «Барометр настроения».